Cara Membuktikan Teorema-Teorema dalam Kalkulus

Telah kita pelajari Sistem Bilangan Real bagi Kalkulus dimualai dari penjelesan mengapa harus mempelajari Sistem Bilangan Real untuk kalkulus, apa itu empat operasi aritmatika dan sifat-sifat yang berlaku pada bilangan real baik sifat medan maupun sifat urutan. Kali ini, kita akan belajar sedikit logika sebagai bekal untuk mempelajari kalkulus.

Dalam mempelajari kalkulus terdapat teorema-teorema yang digunakan untuk menyelesaikan soal-soal. Teorema merupakan hasil penting dalam matematika yang telah terbukti kebenarannya, misalkan teorema yang terkenal yaitu Teorema Phytagoras yang berusaha untuk menjawab permasalahan tentang panjang suatu sisi miring segitiga. Sedangkan sesuatu pernyataan yang belum terbukti kebenarannya disebut sebagai konjektur. Konjektur yang telah terbukti kebenarannya naik status menjadi teorema.

Pada umumnya sebuah teorema itu ditandai dengan kata " jika p maka q " atau ditulis "$p \Rightarrow q $". Dalam logika matematika, $p$ sebagai hipotesis dan $q$ sebagai kesimpulan, atau $p$ adalah syarat cukup untuk menyimpulkan $q$ dan $q$ syarat perlu bagi $p$. Bagi mahasiswa matematik adalah tugas kita untuk dapat membuktikan teorema-teorema yang ada dalam kalkulus. Bagaimana cara Membuktikan Teorema-Teorema dalam Kalkulus?

Ada beberapa cara dalam membuktikan teorema yang berbentuk "Jika p maka q", tersebut:

1. Bukti Langsung
2. Bukti Tak Langsung
3. Bukti dengan Kontradiksi

Pembuktian secara langsung yaitu menggunakan aturan silogisme. Artinya, kita asumsikan $p$ bernilai benar sehingga didapatkan $q$ bernilai benar. 

Pembuktian secara tidak langsung yaitu menggunakan kontraposisinya. Kontraposisi dari $p \Rightarrow q $ adalah $\neg q \Rightarrow \neg p $. Jika kita asumsikan $\neg q $ dan mengakibatkan $\neg p$ maka kita telah membuktikan pernyataan $p \Rightarrow q $ bernilai benar.

Contoh: Buktikan bahwa $∫ 0 \ dx=C$

Kita ubah pernyataannya sebagai contoh bagaimana membuktikan, yaitu "Jika f(x)=0 maka integral f(x) terhadap x adalah C".

• Bukti Langsung

Menurut definisi bahwa :

∫ f(x) dx=F(x)+C

Dengan f(x) =integran, C konstanta dan F'(x)=f(x) dimana F'(x) menyatakan turunan pertama fungsi F(x)

Dari definisi tersebut dapat ditunjukkan bahwa turunan suatu bilangan konstanta adalah nol (0) sehingga kita sudah membuktikannya secara langsung menggunakan definisinya.

• Bukti Tak Langsung

Untuk membuktikan teorema di atas kita hanya memanfaatkan bahwa :

$p \Rightarrow q $ ekuivalen $\neg q \Rightarrow \neg p $

Jadi jika kita telah mampu menunjukkan $\neg q \Rightarrow \neg p $ bernilai benar maka secara tidak langsung kita telah membuktikan kebenaran dari $p \Rightarrow q $. Kita hanya perlu merubah ∫ 0 dx=C dalam bentuk teorema sebagaimana yang telah lewat yaitu:

"Jika f(x) adalah 0 maka integralnya adalah suatu konstanta C" atau setara dengan " jika integral suatu fungsi misalkan f(x) adalah bukan C (variabel x) maka f(x) bukan 0 "

Misalkan ∫ f(x) dx=F(x)+c dimana F(x) bukan fungsi konstan, karena turunan dari fungsi bukan konstan adalah bukan nol maka menurut definisi F'(x)=f(x) tidak sama dengan nol. Dengan demikian kita telah menunjukkan kebenaran teorema "jika integral suatu fungsi misalkan f(x) adalah bukan C (variabel x) maka f(x) bukan 0" sekaligus "Jika f(x) adalah 0 maka integralnya adalah suatu konstanta C".

Oke, demikian dulu untuk Cara Membuktikan Teorema-Teorema dalam Kalkulus. Pembuktian dengan kontradiksi dan sebagainya yang lebih detil silahkan baca pada blog kami yang lain pada tulisan Cara Membuktikan dalam Matematika. Adapun untuk latihan soalnya silahkan kerjakan Latihan Soal Pembuktian dalam Pra Kalkulus.

Silahkan baca selanjutnya Desimal, Kalkulator, Penaksiran yang penting diketahui ketika berhadapan dengan perhitungan pada bilangan real.