Belajar Matematika Online

Definisi Grup

Jika sebuah himpunan tak-kosong G ($G \neq \varnothing$), G adalah grup, jika pada himpunan G didefinisikan suatu operasi tertentu (*) sedemikian sehingga:

1) Jika $\forall a,b \in G$ maka $a*b \in G$. (Bersifat tertutup)

2) Jika $\forall a, b, c \in G$ maka $(a*b)*c=a*(b*c)$ (Bersifat Asosiatif)

3) $\forall a \in G$ $\exists e \in G$ sehingga berlaku $e*a=a*e=a$ (Ada Unsur Identitas)

4) $\forall a \in G$ $\exists a^{-1} \in G$, sehingga $a*a^{-1}=a^{-1}*a=e$ (Mempunyai Invers)

Contoh: Apakah Himpunan bilangan bulat $Z$ dengan operasi $+$ adalah Grup?

Jawab:
1) Tertutup, karena sebarang bilangan bulat jika dijumlahkan dengan bilangan bulat hasilnya juga bilangan bulat.

2) Asosiatif, seperti yang kita ketahui bahwa penjumlahan pada bilangan bulat, salah satu sifat operasi yang dimiliki adalah asosistif. (Contoh: $(2+3)+4=2+(3+4)$)

3)Apakah ada unsur identitas? Iya yaitu $0$ karena sebarang bilangan bulat dijumlahkan dengan bilangan nol (0) adalah bilangan bulat itu sendiri. (Contoh: 2+0=2)

4)Apakah untuk setiap anggota himpunan bilangan bulat ada inversnya? Ambil sebarang $a \in Z$ yang memenuhi $a+a^{-1}=e=0$, sehingga diperoleh inversnya $-a$ sehingga $a+(-a)=0$. (contoh: 2+(-2)=0 jadi invers dari 2 adalah -2)

Jadi $Z$ dengan opeasi $+$ adalah grup.

Latihan Soal Grup:
1. Apakah $(R,.)$ adalah grup?

2. Tunjukkan bahwa $(Q,+)$ adalah Grup!

R: Real
Q: Rasional
. : perkalian biasa
$\forall$ : Untuk setiap (semua)
$\exists$ : Terdapat/ada

No comments:

Post a Comment

Berkomentarlah dengan santun, Trimakasih!

Copyright © Matematika Ku Bisa. All rights reserved. Template by CB. Theme Framework: Responsive Design