Nlai Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi Kontinu

A.      MAKSIMUM DAN MINIMUM

a. TelaahKonsep

1.       Suatu fungsi kontinu pada suatu selang tertutup akan selalu mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum pada selang terrsebut.

2.       Nilai ekstrim menyatakan suatu nilai maksimum atau minimum.

3.       Suatu fungsi dapat mencapai nilai ekstrim hanya pada titik kritis.

4.       Titik-titik kritis ada tiga tipe yaitu titik ujung, titik stationer, dan titik singuler yaitu :

·         Titik ujung pada selang tertutup, misalkan S=[a,b] yaitu a dan b.

·         Titik stationer untuk sebuah f adalah sebuah nilai c sedemikian sehingga f’(c)=0

·         Titik singuler untuk suatu f adalah sebuah nilai c sedemikian sehingga f’(c) tidak ada

b.      Definisi

Andaikan S daerah asal f mengandung titik c kita katakan bahwa:

1.       f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c)≥f(x) untuk semua x di S.

2.       f(c) adalah nilai minimum f pada S jiks f(c)≤f(x) untuk semua x di S

3.       f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minumum

c.       cara menentukan nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi kontinu f pada selang tertutup S

1.       carilah titik-titik kritis f pada S.

2.       hitunglah f pada setiap titik kritis.

Contoh:

Gambarkan f(x)=x²+x pada selang S=[-2,2] dan carilah nilai maksimum dan nilai minimumnya !

Jawab:

Langkah 1: Menggambar grafik

Langkah 2: Menentukan titik-titik kritisnya

·         titik-titik ujungnya yaitu -2 dan 2

·         titik stationernya jika f’(x) =0,

maka f’(x)=2x+1

                0=2x+1

               x=-1/2

·         titik singuler tidak ada

jadi titik kritisnya yaitu -2,-1/2, dan 2

                                Langkah 3: hitunglah f pada setiap titik kritis

·         f(x)=x²+x

f(-2)=2       f(-1/2)=-1/4     f(2)=6

nilai maksimumnya adalah 6 dan nilai minimumnya adalah -1/4

LATIHAN:

1.       h(r)=1/r   ;   S=[-1,3]

2.       g(x)=1 /1+x²   ;  S=(−∞,∞)

3.       S(t)=sin t-cos t    ;   S=[0, π]

4.       Carilah dua bilangan tak-negatif yang jumlanya 10 dan hasil kalinya maksimum. Petunjuk : jika x salah satu bilangan maka yang lainnya 10-x

5.       Leonard mempunyai 200 meter kawat duri yang ia rencanakan unyuk memegarari lapangan segi-empat untuk anjingnya. Jika ia ingin agar luas maksimum, berapa ukuran yang seharusnya ?

Sumber: Buku Kalkulus Purcell Jilid 1